Suites de nombres réels

L'étude des suites de nombres réels constitue la voie royale pour accéder à la notion de limite. Opposé à l'infni actuel de Cantor (exemple : un ensemble infni), l'infni d'Aristote ou de Zénon d'Élée évoque la possibilité de toujours aller plus loin (exemple : tout entier naturel possède un successeur). Les chapitres traités dans ce cahier ont pour objectif de familiariser le lecteur avec les concepts mathématiques relatifs à cet infni potentiel. Dans ce contexte, la démonstration par récurrence constitue un outil précieux. Une introduction à cette méthode est proposée en annexe.

Les suites arithmétiques et géométriques sont omniprésentes dans les applications des mathématiques. Ce cahier rappelle les propriétés essentielles de ces deux cas particuliers. Une étude plus générale des suites de nombres réels devient indispensable lorsque l'on veut accéder à la notion de série (Cahier CRM N° 4, « Séries numériques et séries de Taylor ») ou lorsqu'il s'agit de défnir et de calculer des nombres réels tels que π ou e, le nombre de Neper.

Le présent cahier s'adresse d'abord aux étudiants des gymnases qui suivent un cours de mathématiques renforcées. Il ne nécessite pas de connaissances préalables en analyse. Destiné plus généralement à tout étudiant au seuil de ses études secondaires supérieures, le cahier aborde des notions qui sont à la fois élémentaires et fondamentales.

1. Exemples d'introduction

2. Suite réelle

3. Limite et convergence d'une série

4. Suites particulières

• Suite arithmétique
• Suite géométrique
• La suite de terme général (1+1/n)n et le nombre de Neper

5. Exercices

Annexe : la démonstration par récurrence

Réponses aux exercices