Equations algébriques et nombres complexes

La découverte des quantités imaginaires naît dans le sillage de la résolution des équations des 3e et 4e degrés. Cette résolution est l’oeuvre de mathématiciens italiens du XVIe siècle. Cette découverte est l’aboutissement d’une longue et lente gestation qui débute au XIXe siècle avant J.-C. dans le bassin du Tigre et de l’Euphrate par la résolution de quelques équations et systèmes d’équations du 2e degré.

Lorsque nous présentons les quantités imaginaires dans le cadre d’un cours traditionnel consacré à cette notion, nous les présentons tout de suite comme des nombres en adoptant soit l’écriture consacrée, au XVIIIe siècle, par LEONHARD EULER : z = a + i·b soit sous la forme d’un couple, écriture encore plus tardive (1833), due à WILLIAM ROWAN HAMILTON z = (a;b).

Cette démarche a certes les avantages de la clarté et de la brièveté. Mais elle n’aborde pas les questions essentielles : comment se sont « imposés » les nombres (fractionnaires, négatifs, réels et finalement complexes) ? Qu’est-ce qu’un nombre ? Comment « crée-t-on » un nombre ? Quelle est, dans ce domaine, la « liberté » du mathématicien ?

L’étude de ces questions permet de mieux ancrer les mathématiques dans l’aventure et le développement historique des connaissances humaines. Elles perdent aux yeux des élèves ce caractère atemporel et absolu pour redevenir ce qu’elles ont toujours été : une aventure de l’intelligence humaine avec ses errances, ses questions, ses erreurs et ses succès.

C’est la raison pour laquelle dans le texte de ce cahier, l’auteur s’est beaucoup attardé sur les temps de gestation, sur les « chemins de traverse », sur les personnages, afin de montrer que les difficultés qu’il fallait résoudre étaient moins des difficultés mathématiques d’ordre technique, les Grecs avaient tous les outils mathématiques pour élaborer une présentation géométrique des nombres complexes, que des manières particulières d’envisager la notion de nombre, manières qui empêchaient de concevoir ces quantités imaginaires comme des nombres. Il n’est pas anodin que cette découverte intervienne en pleine Renaissance italienne période où naissent de nouveaux paradigmes permettant d’aborder de nouvelles questions, d’esquisser de nouvelles réponses.

Introduction

Avertissement

• Remerciements

Brève histoire de la résolution des équations du deuxième et troisième degré

• L'algèbre mésopotamienne
• L'algèbre grecque
• La période arabe
• L'algèbre au temps de la Renaissance

La lente naissance des « quantités imaginaires »

• Rafaele BOMBELLI
• François VIÈTE
• Abraham DE MOIVRE
• Leonhard EULER

Des « quantités imaginaires » aux « nombres complexes »

• Le travail de Jean-Robert ARGAND
• La synthèse de Carl Friederich GAUSS
• La présentation axiomatique de William Rowan HAMILTON

Bibliographie