Séries numériques et séries de Taylor

Au Ve avant J.-C., le philosophe grec Zénon d'Élée proposa des paradoxes basés sur l'idée suivante : la somme infnie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... de grandeurs strictement positives s'approche de la valeur 2 sans jamais la dépasser ni même l'atteindre. À l'aide de cet argument, Zénon démontra l'impossibilité de tout mouvement. Les notions sous-jacentes d'infni et d'indivisible posaient de profonds problèmes d'ordre philosophique et scientifque.

Si l'on peut saisir intuitivement que la série précédente converge vers 2, il est en revanche plus diffcile de déterminer la somme 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ..., de comprendre que 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... tend vers l'infni (quand bien même toute machine à calculer fournira un résultat fini) ou de concevoir que le résultat du calcul 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... dépend de l'ordre dans lequel les termes sont additionnés !

L'objectif du premier chapitre de ce cahier est de présenter la notion de convergence des séries numériques et les méthodes permettant de calculer leur somme. Au delà de l'aspect épistémologique, il s'agit avant tout de préparer l'étude des séries de fonctions.

En considérant des polynômes de degré infni, on abordera dans le second chapitre la classe des fonctions analytiques. Les valeurs des dérivées successives en un seul point déterminent une telle fonction dans tout un intervalle. La quantité d'informations nécessaire à sa connaissance devient dénombrable et autorise des approximations successives. C'est cet aspect qui rend la théorie des séries de fonctions particulièrement utile dans de nombreuses applications. Familiarisé avec les séries entières, l'étudiant pourra poursuivre avec la classe importante des séries de Fourier qui n'ont pas trouvé place ici.

Le cahier s'adresse ainsi avant tout aux étudiants de gymnase qui se préparent à entreprendre des études scientifques.

Exemples d'introduction

Série numérique

• Définitions
• Propriétés des séries convergentes
• Séries particulières
• Série à termes positifs
• Série alternée
• Série à termes quelconques
• Estimation de la somme d'une série convergente

Série entière

• Définition et convergence
• Propriétés de la fonction somme
• Développement limité d'une fonction
• Développement en série de Taylor et de Maclaurin
• Applications de la formule de Taylor

Exercices

Annexe : Le symbole de sommation Σ

Réponses aux exercices