L'arithmétique au fil de l'histoire

Dans le cadre des cours de mathématiques au gymnase, l’arithmétique est certainement le domaine mathématique le moins abordé et étudié. Cela tient peut-être au fait que la compréhension de maintes conjectures célèbres est accessible à un élève dès l’école primaire, alors que leurs éventuelles démonstrations réclament des outils mathématiques modernes extrêmement élaborés et complexes. Et pourtant, ce domaine regorge de problèmes mathématiques simples à énoncer permettant à tout élève d’explorer, de structurer les données, de formuler des conjectures, de les tester et enfin de tenter une démonstration rigoureuse, bien souvent par un argument algébrique élémentaire. Par ailleurs, le développement des compétences citées ci-dessus en italique est le propre de toute recherche qui se prétend scientifique et ce sont ces mêmes compétences qu’il est important d’acquérir. D’autre part, l’histoire des mathématiques semble nous indiquer que ce sont bien les questions d’arithmétique, en particulier celles soulevées par l’œuvre de Diophante d’Alexandrie, qui ont servi de levier à l’élaboration du langage algébrique et aux techniques de démonstration.

Le présent cahier vise donc un double objectif : combler un manque de moyen d’enseignement spécifique à cette branche des mathématiques et offrir un outil pédagogique qui justifie la nécessité de l’apprentissage d’un langage algébrique précis ainsi que des méthodes de démonstration. C’est ainsi que les preuves par récurrence et par l’absurde sont présentées et exercées très tôt dans le cadre de la présentation des toutes premières notions.

Il est à relever toutefois que ce cahier ne se veut pas un support de cours « clef en main ». Il ne peut, ni ne doit être parcouru de manière linéaire. Il est préférable de le considérer comme un réservoir organisé d’exercices et de situations de recherches qui peut être utilisé durant toute la durée des études gymnasiales. Les exercices suivis d’un astérisque s’adressent davantage aux élèves des deux dernières années gymnasiales ; les preuves et les exercices précédés de deux astérisques exigent une lecture fine ou une investigation plus poussée.

Préambule

• Les ensembles de nombres
• La relation de divisibilité et les propriétés des opérations
• À propos des schémas démonstratifs

Quelques situations historiques

• La séparation du pair et de l’impair et les multiples d’un nombre
• Les nombres figurés
• Les nombres premiers ou linéaires
• Le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux

Le théorème fondamental de l’arithmétique

• Division euclidienne et théorème fondamental
• La somme des diviseurs
• Triplets pythagoriciens
• Les théorèmes de Fermat et de Wilson

À propos des rationnels

• Formes d’écriture d’un nombre rationnel

À propos des irrationnels

• Existence et propriétés de quelques irrationnels
• Le corps Q(√2), l’anneau Z[√2] et ses unités

À propos des nombres complexes

• Rappels de base sur C et introduction à Z[i]
• Z[i] admet une division euclidienne pour N